附录4 实战
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
一、LeetCode 实战
- 力扣（LeetCode） — 全球极客挚爱的技术成长平台
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- myphysics-lab — 免费在线物理模拟平台
二、相关分析与统计
协方差
总体协方差：
$$ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) $$
样本协方差：
$$ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) $$
皮尔逊相关系数
$$ r_{XY} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2} \sqrt{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}} $$
斯皮尔曼等级相关系数
用于衡量两个变量之间的单调关系（不要求线性），适用于顺序数据。
点二列相关
用于一个二分变量和一个连续变量之间的相关性分析：
from scipy.stats import pointbiserialr
x = [1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,0,0]
y = [84,82,76,60,72,74,76,84,88,90,78,80,92,94,96,88,90,78,76,74]
corr, p_value = pointbiserialr(x, y)
print(f"corr: {corr}, p_value: {p_value}")
三、中国剩余定理
问题
《孙子算经》：今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？
定理标准形式
设 $m_1, m_2, \ldots, m_k$ 两两互质，同余方程组：
$$ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \ x \equiv a_3 \pmod{m_3} \ \quad \vdots \ x \equiv a_k \pmod{m_k} \end{cases} $$
在模 $M = \prod_{i=1}^{k} m_i$ 下有唯一解。
乘法逆元
在数论中，乘法逆元特指模运算意义下的逆元：若存在整数 $b$ 使得 $a \cdot b \equiv 1 \pmod{m}$，则称 $b$ 是 $a$ 在模 $m$ 意义下的逆元。逆元存在的充要条件是 $\gcd(a, m) = 1$。
求解方法：
- 暴力枚举（适合小模数）：从小到大试，看哪个数乘以 $a$ 模 $m$ 等于 1
- 扩展欧几里得算法（最通用）：求解 $ax + my = 1$
- 费马小定理（模数是质数时）：$a^{-1} \equiv a^{m-2} \pmod{m}$
扩展欧几里得算法
$$ ax + by = \gcd(a, b) $$
fn extended_gcd(a: i64, b: i64) -> (i64, i64, i64) {
if b == 0 {
(a, 1, 0)
} else {
let (gcd, x1, y1) = extended_gcd(b, a % b);
let x = y1;
let y = x1 - (a / b) * y1;
(gcd, x, y)
}
}
fn main() {
let a = 7;
let b = 9;
println!("extended_gcd({}, {}) = {:?}", a, b, extended_gcd(a, b));
}四、素数筛法
厄拉多塞筛法（埃氏筛）
fn count_primes(n: i32) -> i32 {
if n < 2 {
return 0;
}
let n_usize = n as usize;
let mut primes = vec![true; n_usize];
primes[0] = false;
primes[1] = false;
let mut count = 0;
let limit = (n_usize as f64).sqrt() as usize;
for i in 2..n_usize {
if primes[i] {
count += 1;
if i <= limit {
let mut j = i * i;
while j < n_usize {
primes[j] = false;
j += i;
}
}
}
}
count
}
fn main() {
println!("{}", count_primes(499979)); // 41538
}线性筛法
线性筛法可以在 O(n) 的时间复杂度内找到所有小于 n 的素数，每个合数只被其最小质因子筛掉一次。
五、最大公约数与最小公倍数
辗转相除法（欧几里得算法）
核心公式：
$$ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b) $$
fn gcd(mut a: u64, mut b: u64) -> u64 {
while b != 0 {
let temp = b;
b = a % b;
a = temp;
}
a
}
fn lcm(a: u64, b: u64) -> u64 {
a / gcd(a, b) * b // 先除后乘，避免溢出
}
fn main() {
println!("gcd(48, 18) = {}", gcd(48, 18)); // 6
println!("lcm(48, 18) = {}", lcm(48, 18)); // 144
}六、引葭赴岸
原文：今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。
有一个边长为 1 丈的正方形水池，池中央长着一根芦苇，高出水面 1 尺。将芦苇拉向岸边，其顶端刚好与水面和池岸的交点对齐。问水深和芦苇长各是多少？（1丈 = 10尺）
现代解法：设水深 $x$ 尺，则葭长 $(x+1)$ 尺
$$ x^2 + 5^2 = (x + 1)^2 $$
解得：水深 12 尺，葭长 13 尺。
七、电费查询系统实战
需求： 开发一个电费查询网站
- 提供查询电费应交、已交功能，以列表形式展示
- 提供查询单个房号累计应交、已交电费功能，以 ECharts 图表展示
数据来源： AB.xlsx
查询条件： 开始日期、结束日期、房号、应交、已交
查询结果： 日期、房号、应交、已交（按日期倒序排列）
python -m http.server 8080
http://localhost:8080/electricity_query_sqlite.html
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## 八、同余
**定义：** 两个整数 $a$ 和 $b$ 对模数 $m$ 同余，记作 $a \equiv b \pmod{m}$。
**性质：**
- 同余的加法：若 $a \equiv b \pmod{m}$，则 $a + c \equiv b + c \pmod{m}$
- 同余的乘法：若 $a \equiv b \pmod{m}$，则 $a \times c \equiv b \times c \pmod{m}$
- 同余的幂：若 $a \equiv b \pmod{m}$，则 $a^c \equiv b^c \pmod{m}$
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## 九、学习路径参考
- [Python 3.13.13 文档](https://docs.python.org/zh-cn/3.13/index.html)
- [《The Founder's Playbook: Building an AI-Native Startup》](https://a16z.com/)
- 三维向量的旋转、剪切、缩放
- 二维向量的旋转、剪切、缩放