附录 问题

提出问题比解决问题更重要。—— 爱因斯坦

打开一切科学的钥匙毫无异议的是问号。—— 巴尔扎克

提出正确的问题，往往等于解决了问题的大半。—— 海森堡

问题 → 猜想 → 证明 → 验证 → 定理 → 推论

一、物不知数（中国剩余定理）

《孙子算经》：今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？

解法口诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知

同余方程组：

$$ \begin{cases} x \equiv 2 \pmod{3} \ x \equiv 3 \pmod{5} \ x \equiv 2 \pmod{7} \end{cases} $$

中国剩余定理： 设 $m_1, m_2, \ldots, m_k$ 两两互质，则同余方程组在模 $M = \prod m_i$ 下有唯一解。

二、鸡兔同笼

《孙子算经》：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

解法：

设鸡有 $x$ 只，兔有 $y$ 只：

$$ \begin{cases} x + y = 35 \ 2x + 4y = 94 \end{cases} $$

解得：鸡 23 只，兔 12 只。

三、引葭赴岸

《九章算术》：今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。

（1丈 = 10尺）

古代解法：

$$ b = \frac{a^2 - (c - b)^2}{2(c - b)} $$

现代解法：

设水深 $x$ 尺，则葭长 $(x+1)$ 尺：

$$ x^2 + 5^2 = (x + 1)^2 $$

解得：水深 12 尺，葭长 13 尺。

四、最速降线

问题：在重力作用下，一个质点从点 $A$ 滑到点 $B$（不在正下方），沿什么路径所需时间最短？

答案：摆线（Cycloid）。

摆线的参数方程：

$$ \begin{cases} x = r(\theta - \sin\theta) \ y = r(1 - \cos\theta) \end{cases} $$

五、巴塞尔问题

求所有正整数平方倒数的和：

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

该问题由欧拉在 1735 年解决，一举成名。

六、费马引理

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f’(x_0) = 0$。

这是微分中值定理的基础。

七、素数问题

素数定理： 不超过 $x$ 的素数个数 $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$。

费马小定理： 若 $p$ 是质数，且 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则：

$$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $$

克拉茨猜想（3n+1 猜想）： 任取一正整数，若为偶数则除以 2，若为奇数则乘以 3 再加 1，重复操作，最终总会落入 4→2→1 的循环。至今未被证明。

八、密码学相关问题

密钥管理

• 如何生成公私钥对？
• 如何根据编码后的公私钥对得到 PrivateKey、PublicKey？
• 如何保护密钥的安全？
• 如何传输交换密钥？

身份认证

如何证明我是我，我妈是我妈？

数字证书及CA

传输层安全性协议（TLS/SSL）是一种安全协议，目的是为互联网通信提供安全及数据完整性保障。

• Rustls — Rust 实现的现代 TLS 库
• ECDH 算法概述
• ockam — 端到端加密通信库

九、经典问题索引

十、学习资源

• LeetCode
• rust-by-example
• leetcode-rust
• MindSpore 官方文档
• 中国互联网联合辟谣平台
• freebuf 网络安全行业门户

向量知识库