第十四 算数运算

算数运算符

use std::f64::consts::{PI, E,FRAC_PI_2, SQRT_2};
fn main() {
    let x = 11;
    let y = 2;
    let z = -31;
    let r : f64 = 2.0;
    println!("{}", x + y); 
    println!("{}", x - y); 
    println!("{}", x * y); 
    println!("{}", x / y); 
    println!("{}", x % y); 
    println!("{}", z % x); 
    println!("{}", PI * r.powi(2));
    println!("{}", f64::sin(FRAC_PI_2));
    println!("{}", SQRT_2);
    println!("{}", 4096_f64.log2());
    println!("{}", 4096_f64.log10());
    //高考真题: a = 0.1e^0.1 , b = 1/9 , c = -ln(0.9)，求三者的大小关系
    //正确答案：c < a < b
    println!("{}", 0.1 * E.powf(0.1));
    println!("{}", 1.0_f64 / 9.0_f64);
    println!("{}", -(0.9_f64).ln());
}

模运算的性质

$$ (a + b)\mod n = ((a\mod n) + (b\mod n)) \mod n $$ $$ (a - b)\mod n = ((a\mod n) - (b\mod n)) \mod n $$ $$ (a * b)\mod n = ((a\mod n) * (b\mod n)) \mod n $$

三角函数，反三角函数

use std::f64::consts::PI;

fn main() {
    // 弧度
    let x: f64 = PI / 2.0;
    println!("{}", f64::sin(PI)); 
    println!("{}", x.sin()); 
    println!("{}", x.cos()); 
    println!("{}", x.tan());
    println!("{}", (PI / 4.0).tan());
    // 计算 30 度 (π/6 弧度) 的正弦值
    let angle_deg = 30.0_f64;
    // 转换为弧度
    let angle_rad = angle_deg.to_radians(); 
    let sin_val = angle_rad.sin();
    println!("sin(30°) = {}", sin_val);
    println!("sin(60°) = {}", 60.0_f64.to_radians().sin());

    // 验证 tan(x) 是否等于 sin(x) / cos(x)
    let x = 6.0_f64;
    let tan_direct = x.tan();
    let tan_computed = x.sin() / x.cos();
    println!("tan(6°) = {}", tan_direct);
    println!("sin(6°)/cos(6°) = {}", tan_computed);

    //勾三股四弦五，求勾所对应的角度是多少？
    //sin(x) = 3/5，求对应的角度x
    let x = 0.6_f64;
    let theta = x.asin();
    let theta_deg = theta * 180.0 / PI;
    println!("弧度 = {} ，角度 = {}", theta, theta_deg);
}

20以内所有阶乘

fn factorial_checked(n: u64) -> Option<u64> {
    (2..=n).try_fold(1u64, |acc: u64, x: u64| {
        let acc = acc.checked_mul(x)?;
        Some(acc)
    })
}

fn main() {
    // 使用示例
    for i in 2..=20 {
            match factorial_checked(i) {
                Some(result) => println!("{}! = {}", i, result),
                None => println!("计算溢出"),
            }
    }
}

例子

高考真题: a = 0.1e^0.1 , b = 1/9 , c = -ln(0.9)，求三者的大小关系
正确答案：c < a < b

求证：$$\boldsymbol{-\ln(1-x) < x e^x < \frac{x}{1-x},\quad x\to0^+,;0<x<1}$$

分两段证明：$$\boldsymbol{-\ln(1-x)<xe^x}$$、$$\boldsymbol{xe^x<\dfrac{x}{1-x}}$$。

一、先证右侧：$$\boldsymbol{xe^x < \dfrac{x}{1-x}\ (0<x<1)}$$

$x>0$，两边同除以$x$等价于： $$e^x < \frac1{1-x}\iff e^x(1-x)<1$$ 设 $$F(x)=e^x(1-x)-1,\quad F(0)=e^0\cdot1-1=0$$ 求导： $$F’(x)=e^x(1-x)-e^x=-x e^x<0,\quad x>0$$ $F(x)$在$x>0$严格递减$$\Rightarrow F(x)<F(0)=0$$，即 $$e^x(1-x)<1\Rightarrow e^x<\frac1{1-x}\Rightarrow xe^x<\frac{x}{1-x}.$$ ✅ 右半不等式成立。

二、再证左侧：$$\boldsymbol{-\ln(1-x)<xe^x\ (0<x<1)}$$

变形： $$xe^x+\ln(1-x)>0$$ 构造 $$G(x)=xe^x+\ln(1-x),\quad G(0)=0+\ln1=0$$ 求一阶导： $$G’(x)=e^x+xe^x-\frac1{1-x}=e^x(1+x)-\frac1{1-x} $$ $$ G’(0)=1\cdot1-1=0 $$

再求二阶导： $$ \begin{aligned} G’‘(x)&=e^x(1+x)+e^x-\frac1{(1-x)^2}\ &=e^x(x+2)-\frac1{(1-x)^2} \end{aligned} $$ $$G’’(0)=2-1=1>0$$。

由**泰勒展开（$x\to0^+$）**辅助验证： $$ \begin{aligned} -\ln(1-x)&=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\cdots\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} xe^x&=x\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots\right)=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{6}+\cdots \end{aligned} $$

逐项比较： $$ \begin{cases} x=x\ , \dfrac12x^2<x^2\ , \dfrac13x^3<\dfrac12x^3\ , \cdots \end{cases} $$ 故小正数x：$$-\ln(1-x)<xe^x$$。

从导数单调性：$$G’(0)=0,G’‘(0)>0\Rightarrow x\to0^+$$ 时$G’(x)>0$，$$G(x)\nearrow \Rightarrow G(x)>G(0)=0$$， $$xe^x+\ln(1-x)>0\iff -\ln(1-x)<xe^x.$$ ✅ 左半不等式成立。

三、合并结论

$$\boldsymbol{-\ln(1-x) < x e^x < \frac{x}{1-x},\quad x\to0^+,;0<x<1}$$

补充：三者等价无穷小（ $$x \to 0^+ $$）

$$-\ln(1-x)\sim x,\quad xe^x\sim x,\quad \frac{x}{1-x}\sim x$$ 三者是同阶等价无穷小，只是从低到高：$$-\ln(1-x)<xe^x<\tfrac{x}{1-x}$$。